Cálculo y comprobación de la cimentación de una zapata

En el siguiente ejemplo se realizará el dimensionado y comprobación de una zapata.

De los datos del estudio geotécnico, sabemos que la cimentación será en un nivel aluvial compuesto por gravas en matriz arenosa (SUCS GM) con una presión admisible (σ) de 200 kN/m². El ángulo de rozamiento interno (φ) del terreno es de 28º y su peso específico (γ) es de 22 kN/m³. Siendo la profundidad de cimentación de 1,0 m.

La zapata tendrá unas dimensiones de 2,0 x 1,5 x 1,0 (ancho, largo, canto).
Reacción vertical en apoyos (Nd) = 56 kN
Reacción horizontal en apoyos (Vd) = 14 kN
Momento horizontal, solo en una dirección (Md) = 28 mKN
Densidad hormigón zapata (γH) = 24 kN/m³

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En primer lugar, se harán los cálculos referidos a la comprobación de la tensión sobre el terreno para establecer que la tensión transmitida por la estructura no superará la tensión admisible del terreno.

Acciones en el plano de cimentación
Peso propio de la zapata (Wz) = ancho * largo * canto * γH = 72 kN
Axil en el plano de cimentación (N1) = Nd + Wz = 128 kN
Momento en el plano de cimentación (M1) = Md + Vd * H = 42 mKN

Estabilidad frente al hundimiento
La excentricidad será e = M1 / N1 = 0,328 m
La relación a / 6 = 0,333

Puesto que a/6 < e, estamos en la zona III. Lo que quiere decir una distribución triangular de las tensiones de trabajo al estar la resultante fuera del núcleo.

La tensión máxima en el borde la zapata se calcula con la formula:
σmax = 4/3 * N1 / (a’-2e)*b’ = 84,67 kN/m²

La qadm (tensión admisible del terreno) es de 200 kN/m², pero a efectos de cálculo se considera 1,25*qadm.

Por tanto:
84,67 < 1,25 * qadm CUMPLE

Estabilidad frente al vuelco

La seguridad frente al vuelco, se establece mediante la relación de los momentos estabilizadores frente a los momentos desestabilizadores. Dicha relación debe ser superior a 1,6.
Momentos estabilizadores (M2) = N1 * a/2
Momentos desestabilizadores (M3) = M1

Cv = M1 / M2 = 3,05 CUMPLE

Estabilidad frente al deslizamiento

En este caso, será de obtener la relación entre las fuerzas estabilizadoras y las desestabilizadoras, siendo estable si es superior a 1,6.
Fuerzas estabilizadoras (terreno granular sin cohesión) = N1 * tag (2 * φ /3)
Fuerzas desestabilizadoras = Vd

Cs = 3,09 CUMPLE

Dimensionamiento estructural

Existen varios programas comerciales para calcular rápida y sencillamente armados, cuantías, secciones, …, sin embargo, aquí seguiremos el método descrito en la EHE.

En primer lugar, se considera una sección de referencia S1 perpendicular a la base de la zapata (EHE art 59.4.2.1), estando situada a una distancia 0,15*a (ancho del soporte).
L = 2,0 m (zapata)
a = 0,5 m (pilar)
S1 = 0,825 m
Tensión bajo la sección de referencia = 50,02 kN/m².
Momento característico de la sección de referencia: MS1 = Mterr + MWt+ MWz
Mter = momento debido a las reacciones del terreno = 37,33 mkN
MWT = momento debido al peso del terreno que gravita sobre la zapata = 0
MWz = momento debido al peso de la zapata = -12,25 mkN
MS1 = 25,07 mkN

Si la zapata fuera de hormigón en masa:
Resistencia de cálculo del hormigón a tracción (EHE, art 39.1) = 1,2 N/mm²
Máxima tensión de tracción en la sección de referencia (hormigón en masa) = 0,16 N/mm²
Siendo 0,16<1,2, y por tanto el hormigón cumpliría la tensión de tracción. En nuestro caso, la zapata estará armada por lo que igualmente cumplirá.

Cálculo de la armadura de tracción (Td o U0 — armadura necesaria por cálculo):
vuelo = (a’-a) /2 = 0,75 m
zapata rígida si vuelo < 2h; 0,75<2; por tanto, la zapata es RIGIDA
U0 = 0,85 * fcd * b *d = 21250 kN
Md ≤ 0,37 * U0 *d = 7968,75 mkN
(se corresponde con el caso 1)
Us1 = U0 * ( 1- (1-(2*Md / U0*d)^0,5) = 40,16 kN
Minorando la resistencia de cálculo del acero (fyk) = 400 N/mm² y la resistencia del hormigón (fcd) = 25 N/mm² obtenemos: fyk = 347,83 N/mm² y fcd = 16,67 N/mm².

La cuantía mecánica mínima según EHE, art 42.3.2:
As * fyd > 0,25*(b’*h/6) * fcd
As * fyd > 1041,67 kN

Cuantía geométrica mínima según EHE, art 42.3.5:
As1 ≥ 0,002 sección total del homigón
As1 ≥ 30 cm²

Armadura necesaria
Us1 = = As x fyd
As1 = Us1 / fyd
armadura necesaria para el cálculo (p7); As1 = 1,15 cm²
armadura cuantía mécanica mínima (p8); As1 = 29,95 cm²
Por lo que la armadura necesaria debera ser As1 ≥ 30 cm²

Para resolver la comprobación de flexión, se puede adoptar una distribución Ø16c/20 en las dos direcciones colocando una parrilla inferior y otra superior.

En cuanto a la fisuración, las zapatas rígidas no precisan de esta comprobación y mas cuando en casos como este, el acero nunca alcanza el valor de su límite elástico.

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